Bugün Kümelerde De Morgan kuralı nedir konusunu ana başlıklarıyla ele aldık; bir sonraki yazıda görüşmek üzere.
Kümelerde De Morgan Kuralı: Mantığın Tarih İçinden Bugüne Uzanan Hikâyesi
Zod okurları için hazırlanan bu içerikte Kümelerde De Morgan kuralı nedir konusunda önemli detaylar yer alıyor.
Geçmişe baktığımızda, bugün son derece doğal gördüğümüz bazı düşünme biçimlerinin aslında uzun bir arayışın ürünü olduğunu fark etmek, bugünü anlamanın en güzel yollarından biridir.
Antik Çağdan 19. Yüzyıla: Mantığın Değişen Yüzü
Kümelerde De Morgan kuralı bugün matematiğin temel araçlarından biri gibi görünür. Oysa bu kuralın arkasında, insanın doğru çıkarım yapmanın yollarını araştırdığı çok daha eski bir tarih vardır.
Antik Yunan’da Aristotle ile sistemleşen mantık, öncelikle önermeler ve kıyaslar üzerinden ilerliyordu. Mantık tarihçisi John Corcoran, Aristoteles’in Prior Analytics adlı eserini modern mantıktan önceki en önemli özgün mantık metinlerinden biri olarak değerlendirirken, daha sonraki dönüşümün yalnızca yeni kurallar eklemekten ibaret olmadığını vurgular.
Taylor & Francis Online
Buradaki tarihsel kırılma noktası önemlidir: Mantık, zamanla yalnızca felsefi bir tartışma yöntemi olmaktan çıkıp matematiksel sembollerle işlenebilen bir yapıya dönüşecekti.
De Morgan ve 1847’deki Dönüm Noktası
yüzyılın ortalarında İngiliz matematikçi Augustus De Morgan bu dönüşümün önemli aktörlerinden biri oldu. 1847’de yayımladığı Formal Logic, geleneksel Aristotelesçi mantığın parçalarını yeniden inceleyen geniş kapsamlı bir çalışmaydı. Aynı yıl George Boole da The Mathematical Analysis of Logic adlı eserini yayımladı. Bu dönem, modern sembolik mantığın başlangıç evrelerinden biri kabul edilir.
Plato
De Morgan’ın yaklaşımında “karşıtlık” ve “bileşik önermeler” özel bir önem taşıyordu. 1847 tarihli eserinde mantığı, önermelerin doğruluğundan ziyade çıkarımın yapısıyla ilişkilendirerek ele aldı. Kendi ifadesiyle mantık, çıkarımın “structure of the sentence” yani cümlenin yapısıyla ilgileniyordu.
Wikisource
Daha sonra De Morgan, bugün kendi adıyla bildiğimiz ilkeleri açık biçimde şöyle ifade etti: “The contrary of an aggregate is the compound of the contraries of the aggregants.”
Taylor & Francis Online
Bu ifade, kümeler diline çevrildiğinde De Morgan kurallarının temelini oluşturur.
Kümelerde De Morgan Kuralı Neyi Söyler?
Bir evrensel küme U, iki alt küme de A ve B olsun. De Morgan’ın kümeler için iki temel kuralı şöyledir:
(A∩B)
′
=A
′
∪B
′
ve
(A∪B)
′
=A
′
∩B
′
Başka bir ifadeyle:
Birleşimin tümleyeni = tümleyenlerin kesişimi
Kesişimin tümleyeni = tümleyenlerin birleşimi
Örneğin “A veya B kümesinde olmayanlar”ı arıyorsak, bunun karşılığı hem A’nın hem de B’nin dışında kalan elemanlardır.
Bu basit görünen dönüşüm, aslında “bir bütünü olumsuzlamak” ile “bütünü oluşturan parçaları ayrı ayrı olumsuzlamak” arasındaki ilişkiyi gösterir.
Boole’un 1854’te Açtığı Yeni Kapı
De Morgan’ın çalışmalarının hemen ardından George Boole mantığı cebirsel bir dile dönüştürmeye girişti. 1854’te yayımlanan An Investigation of the Laws of Thought, bu dönüşümün en önemli kilometre taşlarından biri oldu. Boole’un amacı, zihinsel akıl yürütmenin temel yasalarını sembolik bir kalkülüs biçiminde ifade etmekti.
Biodiversity Heritage Library
+1
Boole eserinin başlangıcında çalışmasının amacını, akıl yürütmenin “fundamental laws”ını araştırmak ve bunları “the symbolical language of a Calculus” ile ifade etmek olarak açıklıyordu.
Açık Kütüphane
Bu, matematik tarihinde önemli bir toplumsal ve entelektüel dönüşümdü: Sanayi Devrimi’nin hızlandırdığı ölçme, hesaplama ve standartlaştırma kültürü içinde mantığın da sembollerle işlenebilir hale gelmesi, daha sonra bilgisayar çağının düşünsel altyapılarından birini oluşturdu.
0 ve 1’den Dijital Dünyaya
Boole, sınıfları 0 ve 1 değerleriyle ifade edebilecek bir sistem geliştirdi. Onun cebirsel mantığı daha sonra farklı matematikçiler tarafından geliştirilerek Boolean cebirine dönüştü. Tarihsel çalışmalar, De Morgan’ın birleşim fikrinin ve Boole’un cebirsel yaklaşımının sonraki mantık geleneğinde birleştiğini gösteriyor.
math.uwaterloo.ca
Bugün bilgisayarların “AND”, “OR” ve “NOT” işlemlerini kullanması bu tarihsel mirasın şaşırtıcı bir sonucudur. Bir zamanlar “insan zihni nasıl çıkarım yapar?” sorusuyla başlayan araştırma, günümüzde programlama dillerine ve dijital devrelere kadar uzanmıştır.
19. Yüzyılın Sonundan Modern Matematiğe
De Morgan ve Boole’un çalışmaları başlangıçta matematik dünyasında hemen geniş bir kabul görmedi. Tarihçi Ivor Grattan-Guinness’in aktarıldığı bir değerlendirmede, dönemin matematikçilerinin sembolik mantığa mesafeli kaldığı görülür; Samuel Neil 1864’te De Morgan’ı “crotchety” olarak nitelendirirken Boole’un çalışmalarının yüksek düzeyde matematiksel kültür gerektirdiğini belirtmişti.
Universität Paderborn
Bu tepki bize bilimsel fikirlerin yalnızca doğruluklarıyla değil, ortaya çıktıkları toplumun alışkanlıklarıyla da şekillendiğini hatırlatır.
Sonraki yıllarda mantık, matematik ve küme teorisi arasındaki bağlar güçlendi. De Morgan yasaları artık yalnızca belirli bir mantık çalışmasının sonucu değil, modern matematiğin ortak dili haline geldi.
Geçmişten Günümüze: Aynı Mantık, Yeni Sorular
Bugün bir veritabanında “A grubunda olmayan veya B grubunda olmayan kayıtlar”ı filtrelemekten bilgisayar devrelerine, olasılık hesaplarından programlama mantığına kadar De Morgan kurallarıyla karşılaşırız.
Bu açıdan bakınca tarih yalnızca eski kitapların ve isimlerin hikâyesi değildir. 19. yüzyılda sembollere dökülen bir mantık ilkesi, 21. yüzyılda dijital dünyanın görünmez altyapılarından biri olmuştur.
Belgeler bize bir başka şeyi de gösteriyor: De Morgan ve Boole, bugün kullandığımız dili aynen kullanmıyorlardı. Onların kavramları kendi çağlarının mantık, felsefe ve matematik tartışmaları içinde anlam kazanıyordu.
Wikisource
+1
Belki de burada kendimize şu soruyu sormak gerekir: Bugün “apaçık” veya “doğal” kabul ettiğimiz hangi matematiksel fikirler, geleceğin insanlarına tıpkı De Morgan’ın fikirleri gibi tarihsel bir keşif olarak görünecek?
Kümelerde De Morgan kuralı bu nedenle yalnızca bir formül değildir. Mantığın felsefeden matematiğe, matematikten bilgisayar bilimine uzanan uzun yolculuğunun küçük ama güçlü bir göstergesidir.